 ทำไมค่า e จึงพิเศษในทางคณิตศาสตร์? ค่า e เป็นค่าที่พบเจอได้ในธรรมชาติของการคำนวณค่าที่มีการเพิ่มขึ้น/การลดลง  ความพิเศษเริ่มต้นได้จาก ค่า e ในกราฟฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เมื่อ y = e^x จะได้ค่าความชันกราฟ เท่ากับ e^x  และค่าพื้นที่ใต้กราฟ เท่ากับ e^x เช่นกัน ณ จุด xใดๆ ความพิเศษต่อมา ค่า e เป็นค่าที่ไม่มีใครเขียนค่าที่แน่นอนของค่าeได้ เพราะค่าe =2.7 1828 1828 … โดยมีค่าทศนิยมที่ยาวต่อไปได้เรื่อยๆไม่ซ้ำและไม่รู้จบ ค่าของ e หาได้จาก = (1 + 1/n)^n เมื่อ n เข้าสู่ ∞ และค่าของ e ก็หาได้จาก = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7! + ... และ Eulerก็ทำให้ค่าของ e ปรากฏอยู่ในสมการสวย ๆ แบบนี้ e^(iπ) + 1 = 0  ความพิเศษที่สาม เมื่อเรามองค่าπ อย่างเข้าใจจริงๆจังๆ จะทราบว่าค่าπไม่ได้เป็นค่าคงที่3.14เฉยๆ แต่ค่าπเป็นอัตราส่วนของความยาวรอบรูปต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม มีความสำคัญในการคำนวณค่าเกี่ยวกับวงกลม ทรงกระบอก กรวยกลม ทรงกลม และแม้แต่ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ และในกรณีของค่า e ก็เช่นกัน ค่า e เป็นฐานของการเพิ่มขึ้น และการลดลง โดยจะเกี่ยวเนื่องกับหน่วยย่อยหลายๆหน่วยที่ถูกมองรวมเป็นหน่วยใหญ่ ที่มีการเติบโตหรือลดลงในแต่ละหน่วยย่อยแบบที่เป็นอิสระต่อกัน เช่น การเพิ่มขึ้น/การลดลงของจำนวนประชากรมีหน่วยย่อยคือครอบครัว การลดลงของรังสีในสารกัมมันตรังสีมีหน่วยย่อยคืออะตอม อัตราดอกเบี้ยมีหน่วยย่อยคือจำนวนครั้งต่อปีที่มีการคิดดอกเบี้ยหรือที่เรียกว่า “งวด” การที่มีหน่วยย่อยมากเท่าใดฐานของการเพิ่มขึ้น/การลดลง จะยิ่งมีค่าใกล้เคียง e มากขึ้นเท่านั้น และถ้ามีหน่วยย่อยเป็น ∞ ฐานของการเพิ่มขึ้น/การลดลง จะมีค่าเท่ากับ e  ดูจากตัวอย่างเรื่องเงินฝาก ถ้าเราได้ดอกเบี้ย 100% ต่อปี (ดอกเบี้ยทบต้น) แปลว่า ถ้าเราฝากเงิน 1บาทเมื่อครบปี เราจะได้ดอกเบี้ยอีก 1 บาท โดยเงินรวมเมื่อสิ้นปีจะเท่ากับ 1+1 = 2 บาท จำนวนเงินเติบโตเป็น2เท่าของเงินต้น จากสูตร เงินรวม = (เงินต้น+(อัตราดอกเบี้ย/งวด))^งวด เมื่อธนาคารคิดดอกเบี้ยให้ปีละ1 งวด เงินรวม = (1+ 100%/1 )^1 = (1+1/1)^1= (1+1)^1 = 2^1 = 2 บาท คิดดอกเบี้ยให้ปีละ2 งวด เงินรวม = (1+ 100%/2 )^2 = (1+1/2)^2= (1+0.5)^2 = 1.5^2 = 2.25 บาท คิดดอกเบี้ยให้ปีละ3 งวด เงินรวม = (1+ 100%/3 )^3 = (1+1/3)^3= (1+0.33)^3 = 1.33^3 = 2.35 บาท  โอ้ๆ ดูเหมือนยิ่งซอยย่อยเป็นงวดๆมากเท่าไร เงินรวมที่ได้จะมากขึ้นเรื่อยๆเลยน้า ถ้าซอยย่อยเป็น1000งวดเงินที่ได้จะมหาศาลขนาดไหนกันนะ ลองดูๆ คิดดอกเบี้ยให้ปีละ5 งวด เงินรวม = (1+ 100%/5 )^5 = (1+1/5)^5 = 2.488 บาท เยอะขึ้นไปอีก คิดดอกเบี้ยให้ปีละ10 งวด เงินรวม = (1+ 100%/10 )^10 = (1+1/10)^10= 2.594 บาท คิดดอกเบี้ยให้ปีละ100 งวด เงินรวม = (1+ 100%/100 )^100 = (1+1/100)^100= 2.705 บาท คิดดอกเบี้ยให้ปีละ1000 งวด เงินรวม = (1+ 100%/1000 )^1000 = (1+1/1000)^1000= 2.717 บาท คิดดอกเบี้ยให้ปีละ10000 งวด เงินรวม = (1+ 100%/10000 )^10000 = (1+1/10000)^10000= 2.718 บาท คิดดอกเบี้ยให้ปีละ100000 งวด เงินรวม = (1+ 100%/100000 )^100000 = (1+1/100000)^100000= 2.718 บาท คิดดอกเบี้ยให้ปีละ1000000 งวด เงินรวม = (1+ 100%/1000000 )^1000000 = (1+1/1000000)^1000000 = 2.718 บาท ทำไมมันไม่ค่อยเพิ่มแล้วล่ะ  เพราะสิ่งเหล่านี้เป็นธรรมชาติของการเติบโตและจำนวนของหน่วยย่อยในที่นี่ก็คืองวด เมื่อจำนวนงวดมากขึ้นเรื่อยๆ ค่าของการเติบโตจะเพิ่มขึ้นไปด้วยและจะไปชะลอตัวและป้วนเปี้ยนอยู่ที่ประมาณ 2.7เท่าจากของเดิม และเมื่อเพิ่มจำนวนงวดหรือหน่วยย่อยต่อไปเรื่อยๆจนไปสู่ ∞ ฐานของการเติบโตนี้ก็จะเท่ากับค่า e = 2.718281828… เท่า ในหน่วยย่อยที่มีมากๆ เช่น จำนวนประชากร จำนวนอะตอม จะใช้ ค่า e เป็นฐานของการเติบโต แม้แต่กับจำนวนหน่วยย่อยที่ไม่มากนัก เช่นประมาณ100หน่วย ก็จะสามารถประมาณการเติบโตว่ามีประมาณค่าe ได้เช่นเดียวกัน ดังตัวอย่างดอกเบี้ยเงินฝาก100% 100งวด ข้างต้น (1+ 100%/100 )^100 = (1+1/100)^100 = 2.705 จะมีค่าประมาณค่า e  แล้วถ้าดอกเบี้ยไม่ใช่ 100% ล่ะ เช่น 5% ฐานจะเป็นค่า e อยู่ไหม? ลองปรับตัวเลขให้คล้ายค่า e ข้างบน (1+1/100)^100 คือการแยก 100%เป็น100งวดๆละ1% นั่นก็คือลองแยก5%เป็นงวดละ1% แยกได้เป็น 5งวด = (1+ 5%/5 )^5 = (1+5/500)^5 = (1+1/100)^5 พยายามทำเลขชี้กำลังให้เป็น100ให้เหมือนค่า e โดยการคูณเลขชี้กำลังด้วย20/20 ก็เหมือนคูณด้วย1ได้ค่าเท่าเดิม แต่ตัวเลขเปลี่ยนไปทำให้แยกออกมาได้ = (1+1/100)^(5×(20/20)) = (1+1/100)^(100/20) = [(1+1/100)^100]^(1/20) ภายใน “[ ]”ก็เป็นประมาณค่าeแล้ว = [e]^(1/20) = e^(1/20) การเติบโตของดอกเบี้ย5% คือ e^(1/20) = e^(5/100) = e^(5%) ไม่ว่าดอกเบี้ยจะเท่าใด ฐานการเติบโตก็ยังคงเกี่ยวข้องกับค่า e และกล่าวได้ว่า การเติบโต = e^(อัตราดอกเบี้ย) ถ้าฝากมากกว่า1ปี การเติบโต = e^(อัตราดอกเบี้ย×จำนวนปี)  ความพิเศษที่สี่ ค่า e เป็นค่าที่ทำให้คาดคะเนได้ว่า เมื่อตัวเลขที่เป็นผลหารแล้วนำมายกกำลังด้วยตัวหารของเลขจำนวนเต็มบวกใดๆ ผลที่ได้จากการยกกำลังจะมีค่าสูงสุดเมื่อค่าผลหารที่ได้นั้นใกล้เคียง ค่า e มากที่สุด เช่น 20/2 = 10 , 10^2 = 100 20/4 = 5 , 5^4 = 625 20/5 = 4 , 4^5 = 1024 20/6 = 3.33 , 3.33^6 = 1363.53 20/7 = 2.85 , 2.85^7 = 1527.26 20/8 = 2.5 , 2.5^8 = 1525.88  ถ้ามีคนถามว่า e คืออะไร?
ก็อาจจะตอบสั้นๆว่าคือ ค่าฐานการเติบโต/การลดลง ที่เป็นผลมาจากการเติบโต/การลดลงของหน่วยย่อยๆที่มีอยู่มากมายภายในสิ่งนั้น By ศุภฤกษ์ อดุลประเสริฐสุข อ.วิน ขอขอบคุณชุดรูปภาพจาก PIXAbay.com inspired by betterexplained.com
0 Comments
|