ความเป็นอนันต์

By ศุภฤกษ์ อดุลประเสริฐสุข อ.วิน
ขอขอบคุณ ชุดรูปภาพ จาก PIXAbay.com  
inspired by mathisfun.com

ความเป็นอนันต์ หรือ อินฟินิตี้ (infinity)
เขียนสัญลักษณ์ว่า ∞
คือ แนวคิดของปริมาณ ที่ไม่รู้จบ ที่ไม่มีจุดสิ้นสุด ที่อยู่ในสภาพนิ่ง ๆ ไม่ได้มีการเติบโต

ส่วนใหญ่จะพูดถึง ∞ ในทางคณิตศาสตร์ หรือทางวิทยาศาสตร์
เป็นแนวคิดในจินตนาการ
เช่น พูดถึงความยาวของเส้นตรง, ความยาวของรังสี,
จำนวนจุดบนส่วนของเส้นตรง หรือ จำนวนจริงที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง 1

ลองมาจินตนาการถึงจำนวน ∞ กันดูเล่น ๆ  ปริมาณค่ามาก ๆ ที่รู้จักกัน
เช่น

1 googol มีค่าเท่ากับ 10 ยกกำลัง 100 = 10^100
เวลาเขียนก็คือเขียนเลข 1 ตามด้วยเลข 0  หนึ่งร้อยตัว  =
10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
อ่านว่า หนึ่งพันล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้าน

1 googolplex มีค่าเท่ากับ 10 ยกกำลัง googol =
10^googol

เวลาเขียนก็คือเขียนเลข 1 แล้วตามด้วยเลข 0   googol ตัว
หรือ เลข 1 ตามด้วยเลข 0 หนึ่งพันล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านตัว
(พูดคำว่าล้านทั้งหมด16ครั้ง)

ถ้าอยากจะจินตนาการว่ามากแค่ไหนก็ลองเขียนเลข 0 สักหนึ่งพันตัว
อาจจะพิมพ์ในwordแล้วใช้โปรแกรมช่วยนับก็ได้

ถ้าพิมพ์เลข 0 ใน1บรรทัดได้ 83ตัว
ดังนั้นเลข 0 หนึ่งพันตัวได้ประมาณ12บรรทัด ก็ไม่ค่อยเยอะ
ถ้าเป็นเลข 0 สักหนึ่งล้านตัว ก็ ประมาณ 12,048บรรทัด ก็ชักจะเยอะ

ถ้าพิมพ์ 0 สักหนึ่งล้านล้านตัวก็น่าจะประมาณ 12,048ล้านบรรทัด ชักจะมากไปละมั้ง

ถ้าพิมพ์ 0 สักหนึ่งพันล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านตัว
ก็น่าจะได้ประมาณ 12,048พันล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านล้านบรรทัด 
เราก็จะได้ไปสุดขอบจักรวาลกัน

และถ้าเอาจริง เราก็ไม่สามารถหาหมึก, ปากกา และ กระดาษ
มาเขียนเลข 0 ทั้งหมดของ1 googolplexได้
คือ มีจำนวนเลข0 ทั้งหมด 10^100 ตัว

ก็เพราะเรามีจำนวนอะตอมไม่เพียงพอ
จำนวนอะตอมทั้งหมดในจักรวาลที่เรารู้จักมีอยู่ประมาณ 10^80ตัว

แต่ก็ยังมีตัวเลขที่มากกว่านั้นขึ้นไปอีก 
นั่นก็คือ
1 googolplexian มีค่าเท่ากับ 10 ยกกำลัง googolplex  = 10^googolplex  =
1 ตามด้วย 0  googolplex ตัว

จำนวนเหล่านี้จะมีมากมายมหาศาลเพียงใด  แต่ก็ยังเป็นปริมาณที่มีที่สิ้นสุด
และ ไม่สามารถเทียบเคียงได้กับ ∞

อย่างที่ทราบกันดีว่า ∞ เป็นปริมาณที่จินตนาการขึ้นมา
และการจินตนาการ ∞ ในแต่ละครั้งก็จะไม่เท่ากันด้วย
เช่น
2, 4, 6, 8, … , ∞    กับ    10, 100, 1000, 10000, … , ∞  
ซึ่ง ∞ ตัวหลังนี้ ดูเหมือนจะมากกว่า ∞ ตัวข้างหน้า

ดังนั้น ∞ - ∞ จะไม่เท่ากับ0 แต่จะเรียกว่า ไม่นิยาม หรือ หาค่าไม่ได้  
ก็เพราะ ∞ แต่ละตัวมันไม่เท่ากัน

สมบัติที่สำคัญของ ∞ คือ 
ถ้า R เป็นจำนวนจริงใด ๆ     -∞ <  R  < ∞
แปลว่ายังไง? 

ก็แปลว่า -∞ จะน้อยกว่าจำนวนจริงใด ๆ ก็ตาม เสมอ
และ ∞ จะมากกว่าจำนวนจริงใด ๆ ก็ตาม เสมอ

นอกจากนี้ ∞ จะมีสมบัติอื่น ๆ อีก
∞ + ∞ = ∞        -∞ + -∞ = -∞      ∞ × ∞ = ∞        -∞ × -∞ = ∞        -∞ × ∞ = -∞

และ เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
a + ∞ = ∞        a + (-∞) = -∞        a - ∞ = -∞        a − (-∞) = ∞
ถ้า a>0 :   a × ∞ = ∞        a × (-∞) = -∞
ถ้า a<0 :   a × ∞ = -∞        a × (-∞) = ∞

ข้อควรระวัง! 
สิ่งต่อไปนี้ก็ไม่นิยามหรือเป็นสิ่งที่ไม่มีความหมายใด ๆ ทางคณิตศาสตร์
0 × ∞          0 × -∞        ∞ + -∞        ∞ - ∞        ∞ / ∞            ∞^0            1^∞

โดยสรุปแล้วทุกสิ่งล้วนมีจุดจบ  แต่ ∞ เป็นจินตนาการของความไม่สิ้นสุด 

เนื้อหาฉบับเต็มคลิกที่นี่ แคลคูลัสเบื้องต้น