เวกเตอร์ในสามมิติ

By อ.วิน  ศุภฤกษ์ อดุลประเสริฐสุข
ขอขอบคุณชุดรูปภาพจาก PIXAbay.com

เวกเตอร์ในสามมิติ (Vector in three dimensions) คือปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เวกเตอร์ในสามมิติสามารถเขียนแทนได้ด้วยลูกศรที่มีจุดเริ่มต้นและปลายทาง ความยาวของลูกศรคือขนาดของเวกเตอร์ และทิศทางของลูกศรคือทิศทางของเวกเตอร์

องค์ประกอบของเวกเตอร์ในสามมิติ คือ
ตัวเลขสามตัวที่แสดงตำแหน่งของปลายทางของเวกเตอร์เมื่อเทียบกับจุดเริ่มต้น
องค์ประกอบของเวกเตอร์ในสามมิติสามารถเขียนแทนได้ด้วยชุดของสามตัวเลข โดยเรียงลำดับจากจุดเริ่มต้นไปยังปลายทาง ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด (1, 2, 3) และปลายทางที่จุด (4, 5, 6)
จะมีองค์ประกอบดังนี้  (4, 5, 6)  -  (1, 2, 3)  =  (3, 3, 3)

ขนาดของเวกเตอร์ในสามมิติสามารถหาได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้

โดยที่ x, y, และ z เป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ v

ทิศทางของเวกเตอร์ในสามมิติสามารถหาได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้

โดยที่ u เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 1 และทิศทางเดียวกับ v

การบวกเวกเตอร์ในสามมิติสามารถทำได้ดังนี้

การลบเวกเตอร์ในสามมิติสามารถทำได้ดังนี้

จำนวนสเกลาร์คูณกับเวกเตอร์  ได้ผลลัพธ์ออกมาเป็นเวกเตอร์

จำนวนเวกเตอร์คูณแบบดอทกับเวกเตอร์ ได้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์หรือตัวเลขธรรมดาหนึ่งค่า

โดยที่ θ คือมุมระหว่าง u และ v เมื่อนำหางเวกเตอร์มาชนกัน  และ

หรือจำนวนเวกเตอร์คูณแบบดอทกับเวกเตอร์ อีกวิธีหนึ่ง

เวกเตอร์คูณแบบครอสกับเวกเตอร์ ได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ โดยทิศของผลลัพธ์จะตั้งฉากกับสองเวกเตอร์ที่คูณกัน

มีทิศของผลลัพธ์เป็นไปตามกฎมือขวา
แบมือขวาให้นิ้วทั้งสี่ชี้ไปตามทิศของเวกเตอร์ตัวตั้งแล้วพับนิ้วเข้าหาทิศของตัวคูณ นิ้วหัวแม่มือจะชี้ในทิศผลลัพธ์

ตัวอย่างการใช้งานเวกเตอร์ในสามมิติ
    ใช้หาตำแหน่งและความเร็วของวัตถุที่เคลื่อนที่ในสามมิติ
    ใช้หาแรงที่กระทำต่อวัตถุในสามมิติ
    ใช้หาทิศทางของแสงและสนามไฟฟ้า

สรุปได้ว่า เวกเตอร์ในสามมิติเป็นเครื่องมือสำคัญในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ ใช้ในการอธิบายตำแหน่ง ความเร็ว แรง ทิศทาง และปริมาณอื่นๆ ในสามมิติ

เนื้อหาฉบับเต็มคลิกที่นี่ เวกเตอร์ในสามมิติ