ตัวแปรสุ่ม และ การแจกแจงความน่าจะเป็น

By อ.วิน  ศุภฤกษ์ อดุลประเสริฐสุข
ขอขอบคุณชุดรูปภาพจาก PIXAbay.com

บทความที่เกี่ยวข้อง

ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น : ตัวแปรสุ่มคืออะไร คลิกที่นี่ครับ

ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น : ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องกับพื้นที่ใต้กราฟ คลิกที่นี่ครับ

ตัวแปรสุ่ม (Random Variable)
คือ ฟังก์ชันจากปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่ม ไปยัง เซตของจำนวนจริง

ตัวแปรสุ่มสามารถแบ่งออกเป็น 2 ประเภทหลักๆ คือ

    1. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Random Variable)
คือ ตัวแปรสุ่มที่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด อยู่ในเซตที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้
(แต่สมาชิกในเซตไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนนับ อาจอยู่ในรูปจำนวนเต็ม หรือ ทศนิยมก็ได้)
เขียนเรียงลำดับจากน้อยไปมากได้  โดยมีลักษณะที่ชี้เฉพาะออกมาเป็นทีละค่าๆไม่ต่อเนื่องกัน
เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มชนิดนี้อาจเป็น เซตจำกัด หรือ เซตอนันต์ ก็ได้  

ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
เช่น ผลของการโยนเหรียญ, ผลของการทอยลูกเต๋า และจำนวนลูกค้าที่เข้ามาในร้านใน1วัน

    2. ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง (Continuous Random Variable)
คือ ตัวแปรสุ่มที่เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด เป็นช่วงซึ่งเป็นสับเซตของจำนวนจริง
ที่ไม่สามารถนับจานวนสมาชิกได้ ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด มีลักษณะของความต่อเนื่อง
สามารถระบุเป็นตัวเลขใดๆออกมาก็ได้ภายในช่วงที่กำหนด โดยไม่มีค่าที่เป็นไม่ได้ในช่วงนั้น
เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มชนิดนี้เป็นเซตอนันต์ เท่านั้น

ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง
เช่น ความเร็ว, อุณหภูมิ และความยาว

การแจกแจงความน่าจะเป็น (Probability Distribution)
คือ ฟังก์ชันที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง ค่าของตัวแปรสุ่มกับความน่าจะเป็นของค่านั้น

การแจกแจงความน่าจะเป็นสามารถแบ่งออกเป็น 2 ประเภทหลักๆ คือ

    1. การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Probability Distribution)
คือ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

    2. การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง (Continuous Probability Distribution)
คือ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง


ตัวอย่างของตัวแปรสุ่ม
  1. การทดลองโยนเหรียญ 10 เหรียญ จำนวน 1 ครั้ง
ตัวแปรสุ่ม อาจกำหนดว่าเป็น "จำนวนเหรียญที่ออกหัว" 
ซึ่งมีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดจำนวน 11 ค่า คือมี  0, 1, 2, ..., 10 เหรียญ
หรือตัวแปรสุ่ม อาจกำหนดว่าเป็น "จำนวนเหรียญที่ออกก้อย" 
ซึ่งมีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดจำนวน 11 ค่า คือมี  0, 1, 2, ..., 10 เหรียญ

 2. การทดลองโยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง
ตัวแปรสุ่ม อาจกำหนดว่าเป็น "ตัวเลขของลูกเต๋าที่หงายขึ้นมา" 
ซึ่งมีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดจำนวน 6 ค่า คือ 1, 2, 3, 4, 5, และ 6
   
 3. การชั่งน้ำหนักของนักเรียน
ตัวแปรสุ่ม อาจกำหนดว่าเป็น "น้ำหนักของนักเรียน" 
ซึ่งมีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดอยู่ในช่วงของน้ำหนัก เช่น 40-80 กิโลกรัม
   
4. การเก็บข้อมูลอายุของนักเรียน
ตัวแปรสุ่ม อาจกำหนดว่าเป็น "อายุของนักเรียน" 
ซึ่งมีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดอยู่ในช่วงของอายุ เช่น 12-18 ปี


ตัวอย่างของการแจกแจงความน่าจะเป็น
1. การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องของ  "จำนวนเหรียญที่ออกหัว" 
ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ จำนวน 1 ครั้ง และ กำหนดให้เป็นกรณีที่ความน่าจะเป็นเท่า ๆ กันทุกค่า
 P(0) = 1/2
 P(1) = 1/2

2. การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องของ "ตัวเลขของลูกเต๋าที่หงายขึ้นมา"
จากการโยนลูกเต๋า 1 ครั้งและ กำหนดให้เป็นกรณีที่ความน่าจะเป็นเท่า ๆ กันทุกค่า
P(1) = 1/6
P(2) = 1/6
P(3) = 1/6
P(4) = 1/6
P(5) = 1/6
P(6) = 1/6


ประโยชน์ของตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็นมีประโยชน์มากมาย
เช่น
    ใช้ในการอธิบายปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ
    ใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูล
    ใช้ในการตัดสินใจ

ตัวอย่างการใช้งานของตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น
ในการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ มักใช้ตัวแปรสุ่มเพื่ออธิบายปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ
เช่น อุณหภูมิ ความดัน และจำนวนประชากร
ในการประกันภัย มักใช้ตัวแปรสุ่มเพื่อประเมินความเสี่ยง
เช่น ความเสี่ยงที่จะเกิดการสูญเสีย
ในการลงทุน มักใช้ตัวแปรสุ่มเพื่อประเมินผลตอบแทน
เช่น ผลตอบแทนจากการลงทุนในหุ้น

เนื้อหาฉบับเต็มคลิกที่นี่ ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น