ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น (Random Variables and Probability distribution)

ตัวแปรสุ่ม (Random Variable) คือ ฟังก์ชันจากปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่ม ไปยัง เซตของจำนวนจริง

ตัวแปรสุ่มสามารถแบ่งออกเป็น 2 ประเภทหลักๆ คือ

    ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Random Variable) คือ ตัวแปรสุ่มที่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด อยู่ในเซตที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้ (แต่สมาชิกในเซตไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนนับ) อาจอยู่ในรูปจำนวนเต็ม หรือ ทศนิยมก็ได้  เขียนเรียงลำดับจากน้อยไปมากได้  โดยมีลักษณะที่ชี้เฉพาะออกมาเป็นทีละค่าๆไม่ต่อเนื่องกัน
เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มชนิดนี้อาจเป็น เซตจำกัด หรือ เซตอนันต์ ก็ได้  
ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เช่น ผลของการโยนเหรียญ ผลของการทอยลูกเต๋า และจำนวนลูกค้าที่เข้ามาในร้านในวันหนึ่ง

    ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง (Continuous Random Variable) คือ คือ ตัวแปรสุ่มที่เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด เป็นช่วงซึ่งเป็นสับเซตของจำนวนจริง ที่ไม่สามารถนับจานวนสมาชิกได้ ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด มีลักษณะของความต่อเนื่อง สามารถระบุเป็นตัวเลขใดๆออกมาก็ได้ภายในช่วงที่กำหนด โดยไม่มีค่าที่เป็นไม่ได้ในช่วงนั้น
เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มชนิดนี้เป็นเซตอนันต์ เท่านั้น
ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง เช่น ความเร็ว อุณหภูมิ และความยาวของเส้น

การแจกแจงความน่าจะเป็น (Probability Distribution) คือ ฟังก์ชันที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างค่าของตัวแปรสุ่มกับความน่าจะเป็นของค่านั้น การแจกแจงความน่าจะเป็นสามารถแบ่งออกเป็น 2 ประเภทหลักๆ คือ

    การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Probability Distribution) คือ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

    การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง (Continuous Probability Distribution) คือ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง

ตัวอย่างของตัวแปรสุ่ม
    การโยนเหรียญ 1 ครั้ง ตัวแปรสุ่มคือจำนวนหัวที่ได้ ซึ่งมีค่าได้ 2 ค่า คือ 0 และ 1
    การโยนลูกเต๋า 1 ครั้ง ตัวแปรสุ่มคือผลลัพธ์ที่ได้ ซึ่งมีค่าได้ 6 ค่า คือ 1, 2, 3, 4, 5, และ 6
    การวัดน้ำหนักของมนุษย์ ตัวแปรสุ่มคือน้ำหนักของมนุษย์ ซึ่งมีค่าได้ในทุกช่วงของน้ำหนัก
    การวัดอายุของมนุษย์ ตัวแปรสุ่มคืออายุของมนุษย์ ซึ่งมีค่าได้ในทุกช่วงของอายุ

ตัวอย่างของการแจกแจงความน่าจะเป็น
    การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องของจำนวนหัวในการทอยเหรียญ 1 ครั้ง
ในกรณีที่ความน่าจะเป็นเท่าๆกันทุกค่า

P(0) = 1/2
P(1) = 1/2

    การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องของผลลัพธ์จากการโยนลูกเต๋า 1 ครั้ง
ในกรณีที่ความน่าจะเป็นเท่าๆกันทุกค่า
P(1) = 1/6
P(2) = 1/6
P(3) = 1/6
P(4) = 1/6
P(5) = 1/6
P(6) = 1/6

ประโยชน์ของตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น
ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็นมีประโยชน์มากมาย เช่น
    ใช้ในการอธิบายปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ
    ใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูล
    ใช้ในการตัดสินใจ

ตัวอย่างการใช้งานของตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น
    ในการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ มักใช้ตัวแปรสุ่มเพื่ออธิบายปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ เช่น อุณหภูมิ ความดัน และจำนวนประชากร
    ในการประกันภัย มักใช้ตัวแปรสุ่มเพื่อประเมินความเสี่ยง เช่น ความเสี่ยงที่จะเกิดการสูญเสีย
    ในการลงทุน มักใช้ตัวแปรสุ่มเพื่อประเมินผลตอบแทน เช่น ผลตอบแทนจากการลงทุนในหุ้น

By ศุภฤกษ์ อดุลประเสริฐสุข อ.วิน
ขอขอบคุณชุดรูปภาพจาก PIXAbay.com