ค่าของ e

By อ.วิน  ศุภฤกษ์ อดุลประเสริฐสุข
ขอขอบคุณชุดรูปภาพจาก PIXAbay.com
inspired by betterexplained.com

Euler's Number, Leonhard Euler   (Euler อ่านว่าออยเลอร์)

ทำไมค่า e จึงพิเศษในทางคณิตศาสตร์?
ค่า e เป็นค่าที่พบเจอได้ในธรรมชาติของการคำนวณค่าที่มีการเพิ่มขึ้น/การลดลง 

ความพิเศษเริ่มต้นได้จาก ค่า e ในกราฟฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
เมื่อ y = e^x  จะได้ค่าความชันกราฟ เท่ากับ  e^x

และค่าพื้นที่ใต้กราฟ เท่ากับ  e^x  เช่นกัน ณ จุด xใดๆ  

ความพิเศษต่อมา
ค่า e เป็นค่าที่ไม่มีใครเขียนค่าที่แน่นอนของค่าeได้
เพราะค่าe =2.7 1828 1828 … โดยมีค่าทศนิยมที่ยาวต่อไปได้เรื่อยๆไม่ซ้ำและไม่รู้จบ

ค่าของ e หาได้จาก  =    (1 + 1/n)^n    เมื่อ n เข้าสู่ ∞  
และค่าของ e ก็หาได้จาก  =     1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7! + ...

Euler ก็ทำให้ค่าของ e ปรากฏอยู่ในสมการสวย ๆ แบบนี้  e^(iπ) + 1 = 0

ความพิเศษที่สาม เมื่อเรามองค่าπ อย่างเข้าใจจริงๆจังๆ
จะทราบว่าค่าπไม่ได้เป็นค่าคงที่3.14เฉยๆ
แต่ค่าπเป็นอัตราส่วนของความยาวรอบรูปต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม
มีความสำคัญในการคำนวณค่าเกี่ยวกับวงกลม ทรงกระบอก กรวยกลม ทรงกลม และแม้แต่ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ

และในกรณีของค่า e ก็เช่นกัน
ค่า e เป็นฐานของการเพิ่มขึ้น และการลดลง
โดยจะเกี่ยวเนื่องกับหน่วยย่อยหลายๆหน่วย  ที่ถูกมองรวมเป็นหน่วยใหญ่
ที่มีการเติบโตหรือลดลงในแต่ละหน่วยย่อยแบบที่เป็นอิสระต่อกัน

เช่น
การเพิ่มขึ้น/การลดลงของจำนวนประชากรมีหน่วยย่อยคือครอบครัว 
การลดลงของรังสีในสารกัมมันตรังสีมีหน่วยย่อยคืออะตอม 
อัตราดอกเบี้ยมีหน่วยย่อยคือจำนวนครั้งต่อปีที่มีการคิดดอกเบี้ยหรือที่เรียกว่า “งวด”


การที่มีหน่วยย่อยมากเท่าใดฐานของการเพิ่มขึ้น/การลดลง จะยิ่งมีค่าใกล้เคียง e มากขึ้นเท่านั้น
และถ้ามีหน่วยย่อยเป็น ∞ ฐานของการเพิ่มขึ้น/การลดลง จะมีค่าเท่ากับ e

ดูจากตัวอย่างเรื่องเงินฝาก ถ้าเราได้ดอกเบี้ย 100% ต่อปี (ดอกเบี้ยทบต้น)
แปลว่า ถ้าเราฝากเงิน 1บาทเมื่อครบปี เราจะได้ดอกเบี้ยอีก 1 บาท
โดยเงินรวมเมื่อสิ้นปีจะเท่ากับ 1+1 = 2 บาท จำนวนเงินเติบโตเป็น2เท่าของเงินต้น

จากสูตร เงินรวม = (เงินต้น+(อัตราดอกเบี้ย/งวด))^งวด
เมื่อธนาคารคิดดอกเบี้ยให้ปีละ1 งวด เงินรวม = (1+ 100%/1 )^1 = (1+1/1)^1= (1+1)^1 = 2^1 = 2 บาท
คิดดอกเบี้ยให้ปีละ2 งวด เงินรวม = (1+ 100%/2 )^2 = (1+1/2)^2= (1+0.5)^2 = 1.5^2 = 2.25 บาท
คิดดอกเบี้ยให้ปีละ3 งวด เงินรวม = (1+ 100%/3 )^3 = (1+1/3)^3= (1+0.33)^3 = 1.33^3 = 2.35 บาท

ดูเหมือนยิ่งซอยย่อยเป็นงวดๆมากเท่าไร เงินรวมที่ได้จะมากขึ้นเรื่อยๆ
ถ้าซอยย่อยเป็น1000งวดเงินที่ได้จะมหาศาลขนาดไหนกัน

คิดดอกเบี้ยให้ปีละ5 งวด เงินรวม = (1+ 100%/5 )^5 = (1+1/5)^5 = 2.488 บาท    เยอะขึ้นไปอีก
คิดดอกเบี้ยให้ปีละ10 งวด เงินรวม = (1+ 100%/10 )^10 = (1+1/10)^10= 2.594 บาท
คิดดอกเบี้ยให้ปีละ100 งวด เงินรวม = (1+ 100%/100 )^100 = (1+1/100)^100= 2.705 บาท
คิดดอกเบี้ยให้ปีละ1000 งวด เงินรวม = (1+ 100%/1000 )^1000 = (1+1/1000)^1000= 2.717 บาท
คิดดอกเบี้ยให้ปีละ10000 งวด เงินรวม = (1+ 100%/10000 )^10000 = (1+1/10000)^10000= 2.718 บาท  
คิดดอกเบี้ยให้ปีละ100000 งวด เงินรวม = (1+ 100%/100000 )^100000 = (1+1/100000)^100000= 2.718 บาท  
คิดดอกเบี้ยให้ปีละ1000000 งวด เงินรวม = (1+ 100%/1000000 )^1000000 = (1+1/1000000)^1000000 = 2.718 บาท  

ทำไมมันไม่ค่อยเพิ่มแล้วล่ะ

เพราะสิ่งเหล่านี้เป็นธรรมชาติของการเติบโตและจำนวนของหน่วยย่อยในที่นี่ก็คืองวด
เมื่อจำนวนงวดมากขึ้นเรื่อยๆ ค่าของการเติบโตจะเพิ่มขึ้นไปด้วย  และจะไปชะลอตัว 
และป้วนเปี้ยนอยู่ที่ประมาณ 2.7เท่าจากของเดิม


และเมื่อเพิ่มจำนวนงวดหรือหน่วยย่อยต่อไปเรื่อยๆจนไปสู่ ∞
ฐานของการเติบโตนี้ก็จะเท่ากับค่า e = 2.718281828… เท่า  

ในหน่วยย่อยที่มีมากๆ เช่น จำนวนประชากร จำนวนอะตอม จะใช้ ค่า e เป็นฐานของการเติบโต

แม้แต่กับจำนวนหน่วยย่อยที่ไม่มากนัก เช่นประมาณ100หน่วย
ก็จะสามารถประมาณการเติบโตว่ามีประมาณค่าe ได้เช่นเดียวกัน
ดังตัวอย่างดอกเบี้ยเงินฝาก100% 100งวด ข้างต้น  
(1+ 100%/100 )^100 = (1+1/100)^100 = 2.705  จะมีค่าประมาณค่า e

แล้วถ้าดอกเบี้ยไม่ใช่ 100% ล่ะ เช่น 5%  ฐานจะเป็นค่า e อยู่ไหม?

ลองปรับตัวเลขให้คล้ายค่า e ข้างบน  (1+1/100)^100 คือการแยก 100%เป็น100งวดๆละ1%
นั่นก็คือลองแยก5%เป็นงวดละ1% แยกได้เป็น 5งวด
= (1+ 5%/5 )^5 = (1+5/500)^5 = (1+1/100)^5

พยายามทำเลขชี้กำลังให้เป็น100ให้เหมือนค่า e โดยการคูณเลขชี้กำลังด้วย20/20
ก็เหมือนคูณด้วย1ได้ค่าเท่าเดิม แต่ตัวเลขเปลี่ยนไปทำให้แยกออกมาได้       
= (1+1/100)^(5×(20/20)) =  (1+1/100)^(100/20) =  [(1+1/100)^100]^(1/20)
ภายใน “[ ]”ก็เป็นประมาณค่าeแล้ว
=  [e]^(1/20) =  e^(1/20)

การเติบโตของดอกเบี้ย5% คือ e^(1/20) = e^(5/100) = e^(5%)
ไม่ว่าดอกเบี้ยจะเท่าใด ฐานการเติบโตก็ยังคงเกี่ยวข้องกับค่า e
และกล่าวได้ว่า
การเติบโต =  e^(อัตราดอกเบี้ย)


ถ้าฝากมากกว่า1ปี
การเติบโต =  e^(อัตราดอกเบี้ย×จำนวนปี)

ความพิเศษที่สี่  ค่า e เป็นค่าที่ทำให้คาดคะเนได้ว่า
เมื่อตัวเลขที่เป็นผลหารแล้วนำมายกกำลังด้วยตัวหารของเลขจำนวนเต็มบวกใดๆ
ผลที่ได้จากการยกกำลังจะมีค่าสูงสุดเมื่อค่าผลหารที่ได้นั้นใกล้เคียง ค่า e มากที่สุด
เช่น
20/2 = 10  , 10^2 = 100
20/4 = 5  , 5^4 = 625
20/5 = 4  , 4^5 = 1024
20/6 = 3.33 , 3.33^6 = 1363.53
20/7 = 2.85 , 2.85^7 = 1527.26
20/8 = 2.5 , 2.5^8 = 1525.88

ถ้ามีคนถามว่า e คืออะไร?

ก็อาจจะตอบสั้นๆว่าคือ ค่าฐานการเติบโต หรือ การลดลง 
ที่เป็นผลมาจากการเติบโต หรือ การลดลง อย่างอิสระของหน่วยย่อยๆที่มีอยู่มากมายภายในสิ่งนั้น

เนื้อหาฉบับเต็มคลิกที่นี่ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเซียลและลอกาลิทึม

บทความที่เกี่ยวข้อง
ค่า e คืออะไร Deep Talk