ลําดับและอนุกรม

By อ.วิน  ศุภฤกษ์ อดุลประเสริฐสุข
ขอขอบคุณชุดรูปภาพจาก PIXAbay.com

ลำดับ (Sequences)
คือ ฟังก์ชัน ที่มี โดเมนเป็นเซตของจำนวนนับ (Domain) (สมาชิกตัวหน้า) 
และ เรนจ์เป็นเซตของจำนวนจริง (Range) (สมาชิกตัวหลัง)
ค่าของเรนจ์จะมีค่าตามเงื่อนไขของฟังก์ชัน 
ซึ่งกำหนดขึ้นเพื่อประโยชน์ในการใช้งานตามแต่ที่ต้องการ
ค่าของโดเมนจะมีค่าเริ่มที่ 1 และเพิ่มไปทีละ1

ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่สิ้นสุดที่ n { 1, 2, 3, …, n }
เรียกว่า ลำดับจำกัด (Finite Sequence)

ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่ไม่สิ้นสุด { 1, 2, 3, … }
เรียกว่า ลำดับอนันต์ (Infinite Sequence)

ฟังก์ชันอื่นๆ ทั่วไปที่เราเคยเรียนมาก่อน
เราอาจจะเคยชินกับการเขียนค่าของฟังก์ชัน ด้วย f(x)

การเขียนค่าของฟังก์ชันลำดับ จะใช้ตัว a(x)
หรือ สามารถเขียนแทนได้ด้วย ax
เช่น a(1) แทนด้วย a1 , a(n) แทนด้วย an เป็นต้น

a1, a2, a3, …, an, ...

โดยที่  

a1 คือค่าของลำดับที่ n=1
a2 คือค่าของลำดับที่ n=2
a3 คือค่าของลำดับที่ n=3
an คือค่าของลำดับที่ n=n

  การเรียกชื่อลำดับ เรียกแต่ละตัวว่า “พจน์” เรียงลำดับกันไป
{(1, a1), (2, a2), (3, a3), …, (n, an)}

เรียก (1, a1) ว่า พจน์ที่ 1 ของลำดับ
เรียก (2, a2) ว่า พจน์ที่ 2 ของลำดับ
เรียก (3, a3) ว่า พจน์ที่ 3 ของลำดับ
.
.
.
เรียก (n, an) ว่า พจน์ที่ n ของลำดับ หรือพจน์ทั่วไป

การเขียนลำดับ
1.แบบบอกเงื่อนไข เช่น กำหนดให้ an = 3n
2.การแจกแจงสมาชิก คู่ลำดับ (n,an)
เช่น {(1, a1), (2, a2), (3, a3), …, (n, an)}  หรือ  {(1, 3), (2, 6), (3, 9), …, (n, 3n)}
3.การแจกแจงเฉพาะสมาชิกตัวหลังของคู่ลำดับเท่านั้น
ก็เพราะยังไงสมาชิกตัวหน้าก็ต้องเป็น 1, 2, 3, … อยู่แล้วทุกครั้งนี่นะ
เช่น {a1, a2, a3, …, an} หรือ {3, 6, 9, …, 3n}
4. การเขียนลำดับแบบกราฟ

อนุกรม (Series) Sn คือ ผลรวมของลำดับตั้งแต่พจน์ที่1ถึงพจน์ที่n  อนุกรมสามารถเขียนแทนได้ด้วยนิพจน์ดังนี้
S1 = a1
S2 = a1+a2
S3 = a1+a2+a3
.
.
.
Sn = a1+a2+a3+...+an
โดยที่
Snคือค่าของอนุกรมเป็นรวมของตั้งแต่พจน์ที่1ถึงพจน์ที่n
an คือค่าของลำดับพจน์ที่n

ประเภทของลำดับ
ลำดับสามารถแบ่งออกเป็นประเภทต่างๆ ได้ดังนี้

    ลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence)
คือ ลำดับที่มีผลต่างระหว่างพจน์ที่อยู่ติดกันเท่ากัน
1, 5, 9, 13, …
    ลำดับเรขาคณิต (Geometric Sequence)
คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่อยู่ติดกันเท่ากัน
5, 10, 20, 40, ...
    ลำดับฮาร์มอนิก (Harmonic Sequence)
คือ ลำดับที่มีผลต่างของส่วนกลับของพจน์ที่อยู่ติดกันเท่ากัน
1/1, 1/3, 1/5, 1/7, … (ส่วนกลับ คือ 1, 3, 5, 7, … )
    ลำดับเชิงซ้อน (Complex Sequence)
คือ ลำดับที่มีพจน์เป็นจำนวนเชิงซ้อน
A sequence of real numbers is a function α : ℕ→ ℝ.
A sequence of complex numbers is a function α : ℕ→ ℂ.

ประเภทของอนุกรม
อนุกรมสามารถแบ่งออกเป็นประเภทต่างๆ ได้ดังนี้
  อนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Series)
คือ ผลรวมของพจน์ในลำดับเลขคณิต
   
  อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series)
คือ ผลรวมของพจน์ในลำดับเรขาคณิต
   
  อนุกรมฮาร์มอนิก (Harmonic Series) 
คือ ผลรวมของพจน์ในลำดับฮาร์มอนิก
   
  อนุกรมเชิงซ้อน (Complex Series) 
คือ ผลรวมของพจน์ในลำดับเชิงซ้อน

การใช้งานลำดับและอนุกรม
ลำดับและอนุกรมมีการใช้งานมากมายในหลายสาขาวิชา เช่น
    คณิตศาสตร์ ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์
    วิทยาศาสตร์ ใช้ในการอธิบายปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ
    วิศวกรรม ใช้ในการออกแบบและทดสอบผลิตภัณฑ์
    สังคมศาสตร์ ใช้ในการวิจัยเชิงสำรวจและเชิงทดลอง
    ธุรกิจ ใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูลทางการเงินและการตลาด


ตัวอย่างการใช้งานลำดับและอนุกรม
ลำดับและอนุกรมมีการใช้งานมากมายในหลายสาขาวิชา เช่น

    คณิตศาสตร์
ลำดับเลขคณิตใช้ในการหาสูตรคูณ อนุกรมเลขคณิตใช้ในการหาพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิต

    วิทยาศาสตร์
ลำดับเรขาคณิตใช้ในการหาอัตราการเติบโตของสิ่งมีชีวิต อนุกรมเรขาคณิตใช้ในการหาความสว่างของดาว

    วิศวกรรม
ลำดับฮาร์มอนิกใช้ในการหาความต้านทานไฟฟ้า อนุกรมฮาร์มอนิกใช้ในการหาความถี่ของเสียง

    สังคมศาสตร์
ลำดับเชิงซ้อนใช้ในการหาอัตราการเติบโตของประชากร อนุกรมเชิงซ้อนใช้ในการหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

    ธุรกิจ
ลำดับเลขคณิตใช้ในการหาผลตอบแทนจากการลงทุน อนุกรมเรขาคณิตใช้ในการหาค่างวดของสินเชื่อ

สรุปได้ว่า
ลำดับและอนุกรมเป็นเครื่องมือสำคัญในหลายสาขาวิชา
ใช้ในการอธิบายปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ
ใช้ในการออกแบบและทดสอบผลิตภัณฑ์
ใช้ในการวิจัยเชิงสำรวจและเชิงทดลอง
และใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูลทางการเงินและการตลาด

เนื้อหาฉบับเต็มคลิกที่นี่ ลำดับและอนุกรม