ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น : ตัวแปรสุ่มคืออะไร

โดย อ.เอ๋  ฐิติมา อดุลประเสริฐสุข  
ขอบคุณชุดรูปภาพจาก PIXAbay.com


ทำความรู้จักกับตัวแปรสุ่ม
ก่อนจะรู้จักตัวแปรสุ่ม มารู้จักการทดลองสุ่มกันก่อน

การทดลองสุ่ม คือ การทดลองซึ่งทราบว่า ผลลัพธ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้น จะเกิดอะไรได้บ้าง
แต่ไม่สามารถบอกอย่างแน่นอนได้ว่า ในการทดลองครั้งนั้น จะให้ผลลัพธ์ใดออกมา
ในบรรดาผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เหล่านั้น

การเขียนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่ม ในสถานการณ์เดียวกันอาจเขียนได้แตกต่างกัน
ขึ้นอยู่กับสิ่งที่สนใจ
โดยเซตของผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้ เรียกว่า ปริภูมิตัวอย่าง (sample space)
และเรียกสิ่งที่สนใจจากการทดลองสุ่ม ที่เป็นสับเซตของปริภูมิตัวอย่าง ว่า เหตุการณ์ (event) เช่น

จะเห็นว่า ปริภูมิตัวอย่างที่เขียนได้ ใน สถานการณ์ A สมาชิกในเซตแต่ละตัว มีโอกาสในการเกิดขึ้นเท่าๆกัน
แต่ปริภูมิตัวอย่างที่เขียนได้ ใน สถานการณ์ B สมาชิกในเซตแต่ละตัว มีโอกาสในการเกิดขึ้นไม่เท่ากัน

แม้สมาชิกในปริภูมิตัวอย่างในสถานการณ์ A จะมีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆ กันก็ตาม
แต่การเขียนสมาชิกในเซตแบบนี้ มีข้อเสียคือ สมาชิกในเซตอยู่ในรูปคู่อันดับ ไม่ใช่จำนวนจริงในเชิงปริมาณ
ทาให้ไม่สามารถนำไปคำนวณ เพื่อใช้ประโยชน์ต่อไปได้

เพื่อแก้ปัญหานี้ จึงเขียนปริภูมิตัวอย่างของสถานการณ์ A ในรูปของสถานการณ์ B จึงจะสามารถใช้ประโยชน์ในเชิง
คำนวณต่อไปได้

แต่ในทางปฏิบัติ เราไม่สามารถเขียนปริภูมิตัวอย่างของสถานการณ์ A ในรูปสถานการณ์ B แทนทันทีได้ เพราะไม่ใช่
ปริภูมิตัวอย่างของสถานการณ์ A จริงๆ จึงต้องอาศัย ฟังก์ชัน เป็นตัวช่วยในการเปลี่ยนรูปการเขียนปริภูมิตัวอย่างของ
สถานการณ์ A ให้อยู่ในรูปสถานการณ์ B

เมื่อใช้ฟังก์ชันในการเปลี่ยนรูปปริภูมิตัวอย่างของสถานการณ์ A ให้อยู่ในรูปสถานการณ์ B แล้ว เรียก เซตของปริภูมิ
ตัวอย่างของสถานการณ์ A ที่เขียนในรูปสถานการณ์ B ว่า ตัวแปรสุ่ม (random variable)

นอกจากนี้ เมื่อเขียนปริภูมิตัวอย่างในรูปสถานการณ์ B แล้ว พบว่า ความน่าจะเป็นในการเกิดของสมาชิกแต่ละตัวจะ
ไม่เท่ากัน ดังนั้น เราจึงต้องพิจารณาค่าความน่าจะเป็นของสมาชิกแต่ละตัวควบคู่ไปด้วย

ความหมายของตัวแปรสุ่ม
พิจารณาการโยนเหรียญที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ จำนวน 3 ครั้ง เขียนปริภูมิตัวอย่าง S1 ได้เป็น

ถ้าการทดลองสุ่มนี้ สนใจจำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว เขียนปริภูมิตัวอย่าง S2 ได้เป็น

จะเห็นว่า สมาชิกในปริภูมิตัวอย่าง S2 เป็นสับเซตของจำนวนจริง

เมื่อให้ X แทนจำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว เขียนฟังก์ชัน X ระหว่างปริภูมิตัวอย่าง S1 กับจำนวนจริง ได้เป็น

จะเห็นว่า เรนจ์ของฟังก์ชัน X คือ เซต S2  เป็นสับเซตของจำนวนจริง ทำให้สามารถนำไปใช้ในการคำนวณต่อไปได้
เรียกฟังก์ชัน X ในลักษณะนี้ว่า ตัวแปรสุ่ม

ตัวแปรสุ่ม (random variable) คือ ฟังก์ชันจาก ปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่ม ไปยัง เซตของจำนวนจริง

กล่าวได้ว่า ตัวแปรสุ่ม เป็นฟังก์ชันที่ทำหน้าที่แปลงผลลัพธ์ของการทดลองสุ่มต่างๆ ให้อยู่ในรูปของจำนวนจริง
โดยที่ สมาชิกในเรนจ์ของตัวแปรสุ่ม จะถูกเรียกว่าเป็น ค่าของตัวแปรสุ่ม
ซึ่งค่าของตัวแปรสุ่มแต่ละค่าจะเกิดได้ด้วยความน่าจะเป็นค่าหนึ่ง
ดังนั้น เมื่อระบุว่า ค่าของตัวแปรสุ่ม นั่นคือ กำลังกล่าวถึง ค่าเรนจ์ของตัวแปรสุ่ม นั่นเอง

โดยทั่วไป มักเขียนแทน ตัวแปรสุ่ม ด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น X, Y, Z, ...
และเขียนแทน ค่าของตัวแปรสุ่ม ด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก เช่น x, y, z, ...

การเขียนตัวแปรสุ่ม X จะเขียนในรูปแบบเซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด (เขียนค่าเรนจ์) เช่น
- กำหนดตัวแปรสุ่ม X แทน จำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว จากการโยนเหรียญที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ จำนวน 3 ครั้ง
จะได้ X = {0, 1, 2, 3}
- กำหนดตัวแปรสุ่ม X แทน ผลรวมของแต้มลูกเต๋า จากการทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง
จะได้ X = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
- กำหนดตัวแปรสุ่ม X แทน ระยะเวลาในการคอยรถประจำทาง ที่ป้ายโดยสารแห่งหนึ่ง
จะได้ X = [0, ∞)
- กำหนดตัวแปรสุ่ม X แทน จำนวนครั้งในการโยนเหรียญที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ จนกระทั่งเหรียญออกหัว
จะได้ X = {1, 2, 3, 4, …}

ชนิดของตัวแปรสุ่ม

ตัวแปรสุ่มแบ่งได้เป็น 2 ชนิด ตามลักษณะของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม ได้แก่

1) ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง (discrete random variable)
คือ ตัวแปรสุ่มที่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด อยู่ในเซตที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้ (แต่สมาชิกในเซตไม่จำเป็นต้องเป็น
จำนวนนับ) อาจอยู่ในรูปทศนิยมที่เป็นจำนวนบวก จำนวนลบ หรือศูนย์ ก็ได้ หรือ เขียนเรียงลำดับจากน้อยไปมากได้
โดยมีลักษณะที่ชี้เฉพาะออกมาเป็นทีละค่าๆ โดยมีค่าที่ไม่สามารถเป็นค่าที่อยู่ระหว่างสองค่าใดๆ ได้
เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มชนิดนี้อาจเป็น เซตจำกัด หรือ เซตอนันต์ ก็ได้
เช่น
การทอดลูกเต๋า 2 ลูก พร้อมกัน 1 ครั้ง
ถ้าให้ตัวแปรสุ่ม คือ ผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสอง
เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม คือ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
สังเกตว่า2กับ3เป็นค่าที่ไม่ต่อเนื่องกัน เพราะมีค่าที่เป็นไม่ได้อยู่ระหว่างนั้น เช่น 2.5 , 2.95 เป็นต้น
ระหว่าง 3กับ4 , 4กับ5 , ... ก็เช่นกัน
การโยนเหรียญ 1 เหรียญไปเรื่อยๆ จนกว่าเหรียญจะขึ้นหัว แล้วจึงหยุด
ถ้าให้ตัวแปรสุ่ม คือ จำนวนครั้งที่ต้องโยนเหรียญจนกว่าเหรียญจะขึ้นหัว
เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม คือ {1, 2, 3, ...} หรือ ℕ
ค่าโดยสารรถประจำทางที่เก็บคนละ 9.50 บาทตลอดสาย
ถ้าให้ตัวแปรสุ่ม คือ ค่าโดยสารรถประจำทางที่จะเก็บได้ในแต่ละวัน
เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม คือ {0, 9.5, 19, 28.5, ...}
จะเห็นว่า ค่าของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องเป็นจำนวนที่เป็นทศนิยมได้

2) ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (continuous random variable)
คือ ตัวแปรสุ่มที่เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด เป็นช่วงซึ่งเป็นสับเซตของ ℝ ที่ไม่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้
ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด มีลักษณะของความต่อเนื่อง สามารถระบุเป็นตัวเลขใดๆ ออกมาก็ได้ภายในช่วงที่กำหนด โดยไม่
มีค่าที่เป็นไม่ได้ในช่วงนั้น
เช่น เมื่อตัวแปรสุ่มคือน้ำหนักของนักเรียนชั้นม.6 ของโรงเรียนหนึ่ง
อาจได้ว่า เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มที่ได้ คือช่วง [41, 78]
เมื่อตัวแปรสุ่มคือระยะทาง (กิโลเมตร) ในการเดินทางเพื่อพบปะลูกค้าของพนักงานขาย
อาจได้ว่า เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม คือช่วง [0, 100]
เมื่อตัวแปรสุ่มคือระยะเวลา (นาที) ในการเกิดฟ้าผ่าครั้งต่อไป นับจากการเกิดฟ้าผ่าครั้งล่าสุด ที่หมู่บ้านแห่งหนึ่ง
เซตของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม คือช่วง [0, ∞)

เนื้อหาฉบับเต็มคลิกที่นี่ ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น