|
โดย อ.เอ๋ ฐิติมา อดุลประเสริฐสุข ขอบคุณชุดรูปภาพจาก PIXAbay.com ทำความรู้จักกับตัวแปรสุ่ม ก่อนจะรู้จักตัวแปรสุ่ม มารู้จักการทดลองสุ่มกันก่อน การทดลองสุ่ม คือ การทดลองซึ่งทราบว่า ผลลัพธ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้น จะเกิดอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกอย่างแน่นอนได้ว่า ในการทดลองครั้งนั้น จะให้ผลลัพธ์ใดออกมา ในบรรดาผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เหล่านั้น  การเขียนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่ม ในสถานการณ์เดียวกันอาจเขียนได้แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับสิ่งที่สนใจ โดยเซตของผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้ เรียกว่า ปริภูมิตัวอย่าง (sample space) และเรียกสิ่งที่สนใจจากการทดลองสุ่ม ที่เป็นสับเซตของปริภูมิตัวอย่าง ว่า เหตุการณ์ (event) เช่น
จะเห็นว่า ปริภูมิตัวอย่างที่เขียนได้ ใน สถานการณ์ A สมาชิกในเซตแต่ละตัว มีโอกาสในการเกิดขึ้นเท่าๆกัน แต่ปริภูมิตัวอย่างที่เขียนได้ ใน สถานการณ์ B สมาชิกในเซตแต่ละตัว มีโอกาสในการเกิดขึ้นไม่เท่ากัน แม้สมาชิกในปริภูมิตัวอย่างในสถานการณ์ A จะมีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆ กันก็ตาม แต่การเขียนสมาชิกในเซตแบบนี้ มีข้อเสียคือ สมาชิกในเซตอยู่ในรูปคู่อันดับ ไม่ใช่จำนวนจริงในเชิงปริมาณ ทาให้ไม่สามารถนำไปคำนวณ เพื่อใช้ประโยชน์ต่อไปได้ เพื่อแก้ปัญหานี้ จึงเขียนปริภูมิตัวอย่างของสถานการณ์ A ในรูปของสถานการณ์ B จึงจะสามารถใช้ประโยชน์ในเชิง คำนวณต่อไปได้ แต่ในทางปฏิบัติ เราไม่สามารถเขียนปริภูมิตัวอย่างของสถานการณ์ A ในรูปสถานการณ์ B แทนทันทีได้ เพราะไม่ใช่ ปริภูมิตัวอย่างของสถานการณ์ A จริงๆ จึงต้องอาศัย ฟังก์ชัน เป็นตัวช่วยในการเปลี่ยนรูปการเขียนปริภูมิตัวอย่างของ สถานการณ์ A ให้อยู่ในรูปสถานการณ์ B  เมื่อใช้ฟังก์ชันในการเปลี่ยนรูปปริภูมิตัวอย่างของสถานการณ์ A ให้อยู่ในรูปสถานการณ์ B แล้ว เรียก เซตของปริภูมิ ตัวอย่างของสถานการณ์ A ที่เขียนในรูปสถานการณ์ B ว่า ตัวแปรสุ่ม (random variable) นอกจากนี้ เมื่อเขียนปริภูมิตัวอย่างในรูปสถานการณ์ B แล้ว พบว่า ความน่าจะเป็นในการเกิดของสมาชิกแต่ละตัวจะ ไม่เท่ากัน ดังนั้น เราจึงต้องพิจารณาค่าความน่าจะเป็นของสมาชิกแต่ละตัวควบคู่ไปด้วย ความหมายของตัวแปรสุ่ม พิจารณาการโยนเหรียญที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ จำนวน 3 ครั้ง เขียนปริภูมิตัวอย่าง S1 ได้เป็น  ถ้าการทดลองสุ่มนี้ สนใจจำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว เขียนปริภูมิตัวอย่าง S2 ได้เป็น  จะเห็นว่า สมาชิกในปริภูมิตัวอย่าง S2 เป็นสับเซตของจำนวนจริง  เมื่อให้ X แทนจำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว เขียนฟังก์ชัน X ระหว่างปริภูมิตัวอย่าง S1 กับจำนวนจริง ได้เป็น  จะเห็นว่า เรนจ์ของฟังก์ชัน X คือ เซต S2 เป็นสับเซตของจำนวนจริง ทำให้สามารถนำไปใช้ในการคำนวณต่อไปได้ เรียกฟังก์ชัน X ในลักษณะนี้ว่า ตัวแปรสุ่ม  ตัวแปรสุ่ม (random variable) คือ ฟังก์ชันจาก ปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่ม ไปยัง เซตของจำนวนจริง  กล่าวได้ว่า ตัวแปรสุ่ม เป็นฟังก์ชันที่ทำหน้าที่แปลงผลลัพธ์ของการทดลองสุ่มต่างๆ ให้อยู่ในรูปของจำนวนจริง โดยที่ สมาชิกในเรนจ์ของตัวแปรสุ่ม จะถูกเรียกว่าเป็น ค่าของตัวแปรสุ่ม ซึ่งค่าของตัวแปรสุ่มแต่ละค่าจะเกิดได้ด้วยความน่าจะเป็นค่าหนึ่ง ดังนั้น เมื่อระบุว่า ค่าของตัวแปรสุ่ม นั่นคือ กำลังกล่าวถึง ค่าเรนจ์ของตัวแปรสุ่ม นั่นเอง โดยทั่วไป มักเขียนแทน ตัวแปรสุ่ม ด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น X, Y, Z, ... และเขียนแทน ค่าของตัวแปรสุ่ม ด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก เช่น x, y, z, ... การเขียนตัวแปรสุ่ม X จะเขียนในรูปแบบเซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด (เขียนค่าเรนจ์) เช่น - กำหนดตัวแปรสุ่ม X แทน จำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว จากการโยนเหรียญที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ จำนวน 3 ครั้ง จะได้ X = {0, 1, 2, 3} - กำหนดตัวแปรสุ่ม X แทน ผลรวมของแต้มลูกเต๋า จากการทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง จะได้ X = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} - กำหนดตัวแปรสุ่ม X แทน ระยะเวลาในการคอยรถประจำทาง ที่ป้ายโดยสารแห่งหนึ่ง จะได้ X = [0, ∞) - กำหนดตัวแปรสุ่ม X แทน จำนวนครั้งในการโยนเหรียญที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ จนกระทั่งเหรียญออกหัว จะได้ X = {1, 2, 3, 4, …}  ชนิดของตัวแปรสุ่ม ตัวแปรสุ่มแบ่งได้เป็น 2 ชนิด ตามลักษณะของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม ได้แก่ 1) ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง (discrete random variable) คือ ตัวแปรสุ่มที่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด อยู่ในเซตที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้ (แต่สมาชิกในเซตไม่จำเป็นต้องเป็น จำนวนนับ) อาจอยู่ในรูปทศนิยมที่เป็นจำนวนบวก จำนวนลบ หรือศูนย์ ก็ได้ หรือ เขียนเรียงลำดับจากน้อยไปมากได้ โดยมีลักษณะที่ชี้เฉพาะออกมาเป็นทีละค่าๆ โดยมีค่าที่ไม่สามารถเป็นค่าที่อยู่ระหว่างสองค่าใดๆ ได้ เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มชนิดนี้อาจเป็น เซตจำกัด หรือ เซตอนันต์ ก็ได้ เช่น การทอดลูกเต๋า 2 ลูก พร้อมกัน 1 ครั้ง ถ้าให้ตัวแปรสุ่ม คือ ผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสอง เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม คือ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} สังเกตว่า2กับ3เป็นค่าที่ไม่ต่อเนื่องกัน เพราะมีค่าที่เป็นไม่ได้อยู่ระหว่างนั้น เช่น 2.5 , 2.95 เป็นต้น ระหว่าง 3กับ4 , 4กับ5 , ... ก็เช่นกัน การโยนเหรียญ 1 เหรียญไปเรื่อยๆ จนกว่าเหรียญจะขึ้นหัว แล้วจึงหยุด ถ้าให้ตัวแปรสุ่ม คือ จำนวนครั้งที่ต้องโยนเหรียญจนกว่าเหรียญจะขึ้นหัว เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม คือ {1, 2, 3, ...} หรือ ℕ ค่าโดยสารรถประจำทางที่เก็บคนละ 9.50 บาทตลอดสาย ถ้าให้ตัวแปรสุ่ม คือ ค่าโดยสารรถประจำทางที่จะเก็บได้ในแต่ละวัน เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม คือ {0, 9.5, 19, 28.5, ...} จะเห็นว่า ค่าของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องเป็นจำนวนที่เป็นทศนิยมได้  2) ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (continuous random variable)
คือ ตัวแปรสุ่มที่เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด เป็นช่วงซึ่งเป็นสับเซตของ ℝ ที่ไม่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้ ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด มีลักษณะของความต่อเนื่อง สามารถระบุเป็นตัวเลขใดๆ ออกมาก็ได้ภายในช่วงที่กำหนด โดยไม่ มีค่าที่เป็นไม่ได้ในช่วงนั้น เช่น เมื่อตัวแปรสุ่มคือน้ำหนักของนักเรียนชั้นม.6 ของโรงเรียนหนึ่ง อาจได้ว่า เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มที่ได้ คือช่วง [41, 78] เมื่อตัวแปรสุ่มคือระยะทาง (กิโลเมตร) ในการเดินทางเพื่อพบปะลูกค้าของพนักงานขาย อาจได้ว่า เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม คือช่วง [0, 100] เมื่อตัวแปรสุ่มคือระยะเวลา (นาที) ในการเกิดฟ้าผ่าครั้งต่อไป นับจากการเกิดฟ้าผ่าครั้งล่าสุด ที่หมู่บ้านแห่งหนึ่ง เซตของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม คือช่วง [0, ∞) เนื้อหาฉบับเต็มคลิกที่นี่ ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น โดย อ.เอ๋ ฐิติมา อดุลประเสริฐสุข ขอบคุณชุดรูปภาพจาก PIXAbay.com ทำไมพหุนาม p(x)หารด้วย x-c จึงมีเศษเหลือเท่ากับ p(c)      โดย อ.เอ๋ ฐิติมา อดุลประเสริฐสุข ขอบคุณชุดรูปภาพจาก PIXAbay.com เรื่องของค่า e นี้ เราจะเริ่มต้นจากการสังเกตการเพิ่มขึ้นของเงินต้นรวมดอกเบี้ยทั้งหมดเมื่อแบ่งจำนวนรอบในการคิดดอกเบี้ยให้มากขึ้น  จากสูตร การคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นด้วยอัตราคงที่ ซึ่งเป็นการคิดแบบไม่ต่อเนื่อง  P(n) คือ เงินต้นรวมดอกเบี้ยทั้งหมด Po คือ เงินต้น rคือ อัตราดอกเบี้ย n คือ จำนวนงวดที่คิดดอกเบี้ย สมมติฝากเงิน Po บาทเป็นระยะเวลา 1 ปี ได้รับอัตราดอกเบี้ย 100%ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นปีละ1ครั้ง เมื่อฝากครบ 1 ปี จะได้รับเงิน   ฝากเงิน Po บาทเป็นระยะเวลา 1 ปี ได้รับอัตราดอกเบี้ย 100%ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นปีละ2ครั้ง เมื่อฝากครบ 1 ปี จะได้รับเงิน   ฝากเงิน Po บาทเป็นระยะเวลา 1 ปี ได้รับอัตราดอกเบี้ย 100%ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นปีละ5ครั้ง เมื่อฝากครบ 1 ปี จะได้รับเงิน   สังเกตว่าการแบ่งจำนวนรอบในการคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นยิ่งมาก ทำให้ตัวเลขที่นำมาคูณกับPoยิ่งมีค่ามาก นั่นหมายความว่า ทำให้ได้เงินมากขึ้นด้วย ทั้งที่ระยะเวลาในการฝากเงินเป็น 1ปี เท่ากัน มาดูกันว่า ถ้าแบ่งจำนวนรอบในการคิดดอกเบี้ยเป็นรายวินาทีเลย จะได้เงินมากขนาดไหน ฝากเงิน Poบาท เป็นระยะเวลา 1 ปี ได้รับอัตราดอกเบี้ย 100% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นปีละ10ครั้ง เมื่อฝากครบ 1 ปี จะได้รับเงิน  ฝากเงิน Poบาท เป็นระยะเวลา 1 ปี ได้รับอัตราดอกเบี้ย 100% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นปีละ100ครั้ง เมื่อฝากครบ 1 ปี จะได้รับเงิน  ฝากเงิน Poบาท เป็นระยะเวลา 1 ปี ได้รับอัตราดอกเบี้ย 100% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นปีละ1000ครั้ง เมื่อฝากครบ 1 ปี จะได้รับเงิน   สังเกตว่าตัวคูณที่คำนวณได้ เริ่มเพิ่มขึ้นอย่างช้าๆแล้ว เรามาสังเกตเฉพาะตัวคูณให้ชัดๆกันดีกว่า  สังเกตว่า แม้เราจะแบ่งจำนวนรอบให้มากขึ้น เพื่อให้ได้ตัวเลขของเลขชี้กำลังที่มากขึ้น แต่อัตราดอกเบี้ยของแต่ละรอบที่จะนำมารวมกับ1ก็ต้องถูกหารแบ่งเช่นกัน ทำให้ได้ตัวเลขที่มีค่าน้อยลง การสวนกันของทิศทางตัวเลขเช่นนี้ ทำให้ค่าของตัวคูณที่คำนวณได้ วิ่งเข้าหาค่าๆหนึ่ง ซึ่งมีค่าประมาณ2.71828เรียกค่านี้ว่า e (Euler's Number) นั่นทำให้ จำนวนเงินที่ได้รับ เมื่อแบ่งรอบในการคำนวณให้มากที่สุด หรือกล่าวได้ว่าเป็นการแบ่งระยะเวลาในแต่ละรอบให้สั้นที่สุด จนเหมือนเป็นค่าต่อเนื่อง จึงหาได้จาก  สังเกตว่าการฝากเงินที่ได้รับดอกเบี้ย100% หรือกล่าวได้ว่า ได้ดอกเบี้ยเป็นเท่าตัว ถ้าคิดดอกเบี้ยเพียงปีละ1ครั้งจะได้รับเงินทั้งหมดกลายเป็น2เท่า แต่ถ้าคิดดอกเบี้ยแบบต่อเนื่องกันไปเลย เมื่อครบ 1 ปี จะไดัรับเงินทั้งหมดเป็นประมาณ2.71828เท่า   ค่า e นี้ถูกค้นพบโดย Jacob Bernoulli นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ผ่านการศึกษาเรื่องดอกเบี้ยทบต้น
แต่ผู้ริเริ่มการใช้สัญลักษณ์ e เพื่อแทนจำนวนนี้ คือ Leonhard Euler นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งของโลก จึงมักเรียกค่า e กันว่าเป็น จำนวนของออยเลอร์ (Euler's Number) นอกจากเรื่องดอกเบี้ยทบต้นแล้ว ยังมีการนำค่า e ไปประยุกต์ใช้ได้กับการคำนวณทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ อีกหลายแขนง ซึ่งหากเราเรียน หรือทำงานในสายวิทยาศาสตร์เข้มข้น เราจะได้เดินสวนกันไปมากับค่า e ราวกับเป็นเพื่อนร่วมงานคนหนึ่งของเราเลยทีเดียว |
RSS Feed