ค่า e คืออะไร

โดย อ.เอ๋  ฐิติมา อดุลประเสริฐสุข
ขอบคุณชุดรูปภาพจาก PIXAbay.com

เรื่องของค่า e นี้  เราจะเริ่มต้นจากการสังเกตการเพิ่มขึ้นของเงินต้นรวมดอกเบี้ยทั้งหมดเมื่อแบ่งจำนวนรอบในการคิดดอกเบี้ยให้มากขึ้น

จากสูตร การคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นด้วยอัตราคงที่ ซึ่งเป็นการคิดแบบไม่ต่อเนื่อง

P(n) คือ เงินต้นรวมดอกเบี้ยทั้งหมด   
Po คือ เงินต้น    
rคือ อัตราดอกเบี้ย    
n คือ จำนวนงวดที่คิดดอกเบี้ย

สมมติฝากเงิน Po บาทเป็นระยะเวลา 1 ปี  ได้รับอัตราดอกเบี้ย 100%ต่อปี  โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นปีละ1ครั้ง
เมื่อฝากครบ 1 ปี จะได้รับเงิน 

ฝากเงิน Po บาทเป็นระยะเวลา 1 ปี  ได้รับอัตราดอกเบี้ย 100%ต่อปี  โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นปีละ2ครั้ง
เมื่อฝากครบ 1 ปี จะได้รับเงิน

ฝากเงิน Po บาทเป็นระยะเวลา 1 ปี  ได้รับอัตราดอกเบี้ย 100%ต่อปี  โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นปีละ5ครั้ง
เมื่อฝากครบ 1 ปี จะได้รับเงิน

สังเกตว่าการแบ่งจำนวนรอบในการคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นยิ่งมาก
ทำให้ตัวเลขที่นำมาคูณกับPoยิ่งมีค่ามาก
นั่นหมายความว่า ทำให้ได้เงินมากขึ้นด้วย
ทั้งที่ระยะเวลาในการฝากเงินเป็น 1ปี เท่ากัน

มาดูกันว่า ถ้าแบ่งจำนวนรอบในการคิดดอกเบี้ยเป็นรายวินาทีเลย
จะได้เงินมากขนาดไหน

ฝากเงิน Poบาท เป็นระยะเวลา 1 ปี  ได้รับอัตราดอกเบี้ย 100% ต่อปี  โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นปีละ10ครั้ง
เมื่อฝากครบ 1 ปี จะได้รับเงิน

ฝากเงิน Poบาท เป็นระยะเวลา 1 ปี  ได้รับอัตราดอกเบี้ย 100% ต่อปี  โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นปีละ100ครั้ง
เมื่อฝากครบ 1 ปี จะได้รับเงิน

ฝากเงิน Poบาท เป็นระยะเวลา 1 ปี  ได้รับอัตราดอกเบี้ย 100% ต่อปี  โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นปีละ1000ครั้ง
เมื่อฝากครบ 1 ปี จะได้รับเงิน

สังเกตว่าตัวคูณที่คำนวณได้ เริ่มเพิ่มขึ้นอย่างช้าๆแล้ว  เรามาสังเกตเฉพาะตัวคูณให้ชัดๆกันดีกว่า

สังเกตว่า แม้เราจะแบ่งจำนวนรอบให้มากขึ้น เพื่อให้ได้ตัวเลขของเลขชี้กำลังที่มากขึ้น
แต่อัตราดอกเบี้ยของแต่ละรอบที่จะนำมารวมกับ1ก็ต้องถูกหารแบ่งเช่นกัน ทำให้ได้ตัวเลขที่มีค่าน้อยลง
การสวนกันของทิศทางตัวเลขเช่นนี้ ทำให้ค่าของตัวคูณที่คำนวณได้ วิ่งเข้าหาค่าๆหนึ่ง
ซึ่งมีค่าประมาณ2.71828เรียกค่านี้ว่า e (Euler's Number)

นั่นทำให้ จำนวนเงินที่ได้รับ เมื่อแบ่งรอบในการคำนวณให้มากที่สุด
หรือกล่าวได้ว่าเป็นการแบ่งระยะเวลาในแต่ละรอบให้สั้นที่สุด จนเหมือนเป็นค่าต่อเนื่อง
จึงหาได้จาก

สังเกตว่าการฝากเงินที่ได้รับดอกเบี้ย100% หรือกล่าวได้ว่า ได้ดอกเบี้ยเป็นเท่าตัว
ถ้าคิดดอกเบี้ยเพียงปีละ1ครั้งจะได้รับเงินทั้งหมดกลายเป็น2เท่า
แต่ถ้าคิดดอกเบี้ยแบบต่อเนื่องกันไปเลย เมื่อครบ 1 ปี จะไดัรับเงินทั้งหมดเป็นประมาณ2.71828เท่า

ค่า e นี้ถูกค้นพบโดย Jacob Bernoulli นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ผ่านการศึกษาเรื่องดอกเบี้ยทบต้น
แต่ผู้ริเริ่มการใช้สัญลักษณ์ e เพื่อแทนจำนวนนี้ คือ Leonhard  Euler นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งของโลก
จึงมักเรียกค่า e กันว่าเป็น จำนวนของออยเลอร์ (Euler's Number)

นอกจากเรื่องดอกเบี้ยทบต้นแล้ว ยังมีการนำค่า e ไปประยุกต์ใช้ได้กับการคำนวณทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์
อีกหลายแขนง  ซึ่งหากเราเรียน หรือทำงานในสายวิทยาศาสตร์เข้มข้น เราจะได้เดินสวนกันไปมากับค่า e ราวกับเป็นเพื่อนร่วมงานคนหนึ่งของเราเลยทีเดียว